El problema de Riemann para leyes de conservación
Abstract
Las leyes de conservación son generalmente usadas en modelos que involucran principios de conservación (leyes físicas), tales como conservación de masa, momento lineal y de energía. Algunos ejemplos importantes de tales sistemas se encuentran en mecánica de fluidos. En una dimensión espacial, un Sistema cuasilineal de primer orden de leyes de conservación es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de la forma $U_t+(f(U))_x=0$, $t>0$, $x \in \mathbb{R}$, donde $U(t,x)$ es un vector de estado y $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es una función suave llamada función de flujo asociada al sistema. El problema de Riemann es un problema de valor inicial en el cual la condición inicial consiste de dos estados constantes separados por una discontinuidad en algún punto $x_0$. El trabajo pionero para existencia de soluciones para el problema de Riemann fue obtenido en 1860 por B. Riemann para el sistema isentrópico de Euler en dinámica de gases. El trabajo de Riemann proporciona la motivación para los recientes estudios de existencia de soluciones para sistemas cuasilineales de primer orden de leyes de conservación, incluyendo soluciones medibles acotadas (discontinuas) y el supuesto de condiciones de entropía. Las soluciones discontinuas son una dificultad matemática porque claramente no satisfacen las ecuaciones diferenciales parciales en el sentido clásico y se necesita definir qué significa una solución para leyes de conservación en este caso. Otra dificultad matemática es la posible no unicidad de soluciones para leyes de conservación con el mismo dato inicial. Es claro que, si las leyes de conservación sirven para modelar el mundo real, entonces solo una solución es físicamente relevante. La unicidad de soluciones para el caso escalar o para algunos sistemas de leyes de conservación en una dimensión espacial puede ser obtenida usando condiciones de entropía. En general, para sistemas hiperbólicos de leyes de conservación, la unicidad de soluciones es un problema abierto. Las soluciones del problema de Riemann tienen muchas aplicaciones. Una de ellas es para comprender la estructura de ondas de leyes de conservación hiperbólicas. Otro importante uso del problema de Riemann es para resolver el problema de Cauchy aplicando localmente el problema de Riemann y reduciendo el problema de Cauchy a una sucesión de soluciones de problemas de Riemann locales. Este libro fue desarrollado a partir del Seminario de Ecuaciones diferenciales y leyes de conservación dirigido por el profesor Leonardo Rendón de la Universidad Nacional de Colombia junto con los profesores Richard De la cruz y Juan Juajibioy de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.
