Charla 66: Álgebras de Conglomerado y Categorías de Caminos de Dyck

Conferencista: Gabriel Bravo Rios¹, Universidad Nacional de Colombia. TERENUFIA

Fecha: Martes 03 de agosto de 2021, 4:00 p.m.

Lugar: Videollamada ( Presione el enlace para ingresar)

Resumen: Las álgebras de conglomerado fueron introducidas por Fomin y Zelevinsky en el 2002 como una subálgebra de un campo de funciones racionales generada por un conjunto de variables llamadas variables de conglomerado con la idea de estudiar un enfoque algebraico de las bases canónicas en la teoría de Lie [5]. Durante los últimos años se han encontrado algunas conexiones de las álgebras de conglomerado con la teoría de representaciones, combinatoria, sistemas dinámicos, geometría algebraica, entre otros [2, 3, 6, 7]. Por ejemplo, Schiffler et al., definieron la categoría de diagonales de un polígono como un modelo geométrico de álgebras del tipo Dynkin $\mathbb{A}_n$, presentando una correspondencia biyectiva entre las diagonales del polígono y las variables de conglomerados de álgebras de tipo $\mathbb{A}_n$ [1].

En esta charla, se introducirán las categorías de camino de Dyck como una realización combinatoria de la categoría de representaciones de carcajes de tipo Dynkin $\mathbb{A}_n$. Se presentará una correspondencia biyectiva entre una familia de caminos de Dyck y los emparejamientos perfectos asociados a dichas álgebras, se dará una fórmula explícita de las variables de conglomerado de álgebras de conglomerado de tipo $\mathbb{A}_n$ en términos de los caminos de Dyck [4].

Referencias

[1] P. Caldero, F. Chapoton, and R. Schiffler, Quivers with relations arising from clusters ($\mathbb{A}_n$ case), Trans. Am. Math. Soc. 358 (2006), no. 3, 1347-1364.

[2] I. Canakci and R. Schiffler, Snake graph calculus and cluster algebras from surfaces, J. Algebra 382 (2013), 240-281.

[3] _______, Cluster algebras and continued fractions, Compositio Mathematica 154 (2018), no. 3, 565-593.

[4] A.M. Cañadas and G.B. Rios, Dyck paths categories and its relationships with cluster algebras, arXiv: 2102.02974 (2021). Preprint.

[5] S. Fomin and A. Zelevinsky, Cluster algebras. I: Foundations., J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), 497-529.

[6] _______, Cluster algebras. II: Finite type classification., Invent. Math. 154 (2003), no. 1, 63-121.

[7] G. Musiker, R. Schiffler, and L. Williams, Positivity for cluster algebras from surfaces. Adv. Math. 227 (2011), 2241-2308.